考前不能独立思考

证:\displaystyle f(z) = \sum_{k=0}^n{z^k\over k!}n个根z_i满足\sum{z_i^{-j}} = 0, j = 2, \ldots, n.

以前搞竞赛。。反正觉得这个特征根递推 newton公式啦。

助教给的参考答案是。。\displaystyle\int_{C_R} {P(z)\over Q(z)} = 0\deg Q \ge \deg P + 2R\to\infty成立。然后算一下\displaystyle\frac{z^k}{f(z)}的residue。诡异而已。

我回忆起以前有个结论\displaystyle\sum_{i=1}^n{\frac{x_i^r}{\prod_{j\ne i}(x_i - x_j)}} = \begin{cases} 0\quad r = 0, 1, \ldots, n-1\\1\quad r = n\\\sum{x_i}\quad r = n+1\end{cases}

我倒是比较感兴趣\prod_{j\ne i}(x_i - x_j)等于什么。在这个题里面。

我是有点想让(x_i = 1/z_i),还没怎么想。

胡广达说。。让x_i = z_i,就有了\displaystyle\prod_{j\ne i}(x_i - x_j) = -{x_i^n\over n!}

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3 responses to this post.

  1. Posted by Joe Tong on 06/23/2009 at 8:50 上午

    天哪!这个题目必然不是高中的吧,我见都没有见过呢!

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    • Posted by yangzhe1990 on 06/23/2009 at 2:38 下午

      高中竞赛可以出啦
      用newton公式做多么简单。

      我只是给出了一个考虑 f'(z) 的理由, 因为 f'(x_i) = \displaystyle\prod_{j\ne i}(x_i - x_j). 这就说明了 f'(z) = f(z) - z^n / n! 这个看似投机取巧的关系式在计算 \sum{z_i^{-j}} 时的本质,谁能凭空想出这么tricky的东西呢。

      回复

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